В параллелограмме сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин всех его сторон. Это важное геометрическое свойство имеет практическое применение в различных расчетах.
Содержание
В параллелограмме сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин всех его сторон. Это важное геометрическое свойство имеет практическое применение в различных расчетах.
Формулировка теоремы
Для любого параллелограмма ABCD со сторонами a и b, и диагоналями d₁ и d₂ выполняется равенство:
d₁² + d₂² = 2(a² + b²)
Доказательство через координаты
- Поместим параллелограмм в систему координат так, чтобы точка A совпадала с началом координат (0,0)
- Пусть вектор AB = (a,0), тогда точка B имеет координаты (a,0)
- Пусть вектор AD = (b·cosθ, b·sinθ), тогда точка D имеет координаты (b·cosθ, b·sinθ)
- Точка C будет иметь координаты (a + b·cosθ, b·sinθ)
- Вычислим длины диагоналей:
- AC = √[(a + b·cosθ)² + (b·sinθ)²]
- BD = √[(a - b·cosθ)² + (b·sinθ)²]
- Возведем диагонали в квадрат:
- AC² = (a + b·cosθ)² + (b·sinθ)² = a² + 2ab·cosθ + b²cos²θ + b²sin²θ
- BD² = (a - b·cosθ)² + (b·sinθ)² = a² - 2ab·cosθ + b²cos²θ + b²sin²θ
- Сложим полученные выражения:
AC² + BD² = 2a² + 2b²(cos²θ + sin²θ) = 2a² + 2b² = 2(a² + b²)
Доказательство через теорему косинусов
| Шаг | Обоснование |
| 1. Рассмотрим треугольник ABD | Применим теорему косинусов для d₁ |
| d₁² = a² + b² - 2ab·cosα | α - угол между сторонами a и b |
| 2. Рассмотрим треугольник ABC | Угол между a и b равен 180°-α |
| d₂² = a² + b² - 2ab·cos(180°-α) = a² + b² + 2ab·cosα | cos(180°-α) = -cosα |
| 3. Сложим оба равенства | d₁² + d₂² = 2a² + 2b² |
Частные случаи
- Для прямоугольника (θ=90°): диагонали равны, d² = a² + b²
- Для ромба (a=b): d₁² + d₂² = 4a²
- Для квадрата: 2d² = 4a² ⇒ d = a√2
Практическое применение
Данное свойство используется:
- В строительстве и архитектуре
- При расчете механических конструкций
- В компьютерной графике
- В навигационных расчетах
Заключение
Представленные доказательства показывают, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма действительно равна удвоенной сумме квадратов его сторон. Это свойство является важным инструментом в геометрических расчетах и подтверждает глубокую взаимосвязь между элементами геометрических фигур.
