Как найти вероятность того, что сумма величин примет определенное значение

В теории вероятностей расчет вероятности того, что сумма случайных величин окажется в заданных пределах, является важной практической задачей. Рассмотрим основные методы решения таких задач.

Основные случаи и методы расчета

Вероятность суммы двух независимых дискретных величин

Для дискретных случайных величин X и Y вероятность того, что их сумма S = X + Y примет значение k, вычисляется по формуле:

P(S=k) = Σ P(X=i) × P(Y=k-i) для всех возможных i

Пример с игральными кубиками

Найдем вероятность того, что сумма очков на двух кубиках равна 7:

1. Возможные комбинации: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
2. Вероятность каждой комбинации: 1/6 × 1/6 = 1/36
3. Количество благоприятных исходов: 6
4. Итоговая вероятность: 6 × 1/36 = 1/6 ≈ 16.67%

Сумма непрерывных случайных величин

Для непрерывных величин плотность распределения суммы Z = X + Y вычисляется через свертку:

f_Z(z) = ∫ f_X(x)f_Y(z-x) dx

Пример с равномерным распределением

Пусть X и Y независимы и равномерно распределены на [0,1]. Найдем вероятность P(X+Y ≤ 1.5):

• Плотность суммы - треугольное распределение на [0,2]
• Вероятность равна площади под графиком плотности от 0 до 1.5
• Результат: 0.875 или 87.5%

Сумма нормально распределенных величин

Если X ∼ N(μ₁, σ₁²) и Y ∼ N(μ₂, σ₂²) независимы, то их сумма:

X + Y ∼ N(μ₁ + μ₂, σ₁² + σ₂²)

Практическое применение

Данное свойство широко используется:

• В статистическом контроле качества
• При анализе финансовых рисков
• В обработке сигналов и данных
• В теории ошибок измерений

Важные замечания

При расчете вероятностей суммы следует учитывать:

• Зависимость или независимость слагаемых
• Тип распределения исходных величин
• Возможность применения центральной предельной теоремы
• Точность требуемого результата